Question

【題目】已知函數．

（I）已知函數在點處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）若函數在上無零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（I）求出，然后由條件建立方程求解即可；

（Ⅱ）求出，然后分、、、四種情況討論，每種情況下求出在上的單調性，然后結合其最值求解即可.

（I）由題意可得，∴，

又因為函數在點處的切線與直線垂直，

所以，∴．

（Ⅱ）由題意可知，

當時，，所以，在上單調遞減，

即在上單調遞減．又因為，

所以在上無零點．即滿足條件．

當時，令得，（舍），

當時，；當時，．

∴在上單調遞增，在上單調遞減.

當，即時，在上單調遞減，有，

此時在上無零點，即時滿足條件．

當，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，

當且僅當且時，在上無零點，

解得．

當，即時，在上單調遞增，

當且僅當且時，在上無零點，此時無解．

綜上所得：