Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，過其右焦點(diǎn)與長軸垂直的直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)，不重合，直線，與直線分別交于點(diǎn)，，求證：以線段為直徑的圓過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由，得，又，且，聯(lián)立求解出、、的值，即可求出橢圓方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)在橢圓上和直線、的斜率求出，設(shè)直線、的方程，求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)圓過定點(diǎn)，為直徑，所以，化簡后即可得到定點(diǎn).

（Ⅰ）由，得，

又因?yàn)?/span>，且，

得，，，

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）由題意，點(diǎn)，點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)，則，得，

又設(shè)直線，的斜率分別為，，

則，，

所以，

∴直線：，直線：，

所以點(diǎn)，，

假設(shè)過定點(diǎn)，

由得

，

所以得，

令，得或，

所以過定點(diǎn)，.