Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，直線交曲線于兩點，為中點.

（1）求曲線的直角坐標方程和點的軌跡的極坐標方程；

（2）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）或

【解析】

（1）根據曲線的參數方程消去參數，可得曲線的直角坐標方程，再由，，可得點的軌跡的極坐標方程；

（2）將曲線極坐標方程求，與直線極坐標方程聯立，消去，得到關于的二次方程，由的幾何意義可求出，而（1）可知，然后列方程可求出的值.

（1）曲線的直角坐標方程為，

圓的圓心為，設，所以，

則由，即為點軌跡的極坐標方程.

（2）曲線的極坐標方程為，

將與曲線的極坐標方程聯立得，，

設，

所以，

，

由，即，

令，上述方程可化為，解得.

由，所以，即或.