Question

【題目】如圖1，在邊長為2的菱形中，，將沿對角線折起到的位置，使平面平面，是的中點，⊥平面，且，如圖2．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成角的余弦值；

（3）在線段上是否存在一點，使得⊥平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）不存在，理由見解析

【解析】

(1)由題設可得，結合平面平面，利用面面垂直的性質定理可得平面，又平面，再利用線面垂直的性質定理，即可得，再由線面平行的判定定理，即可證得平面；

(2)以正交基底建系，寫出所需的點的坐標，分別求出平面與平面的法向量，代入向量夾角公式，即可求出法向量夾角的余弦值，再結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角，即可得到結果；

(3)假設線段上存點,使得平面，設，可得，，，只需判斷與平面的法向量共線得到關于的方程是否有解，若有解則存在，無解的則不存在．

(1)證明：因為，為的中點，所以，

又平面，平面平面，平面平面，

所以平面，又平面，

所以，而平面，平面，

所以平面；

(2)以所在直線為軸，AE所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，

則，，，，，

所以，．

設平面的一個法向量為，

則取，則，

又平面ABD的一個法向量為，

所以，

則平面與平面所成角的余弦值為．

(3)線段上不存點，使得平面．

假設在線段上存在，使得平面，

設，則，即，

所以，，，由，

由，得，此方程無解．

所以線段上不存點，使得平面．