Question

【題目】在中，三個內角的對邊分別為．

（1）若是的等差中項，是的等比中項，求證：為等邊三角形；

（2）若為銳角三角形，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）由是的等差中項可得，由是的等比中項，結合正弦定理與余弦定理即可得到，由此證明為等邊三角形；

（2）解法1：利用分析法，結合銳角三角形的性質即可證明；

解法2：由為銳角三角形以及三角形的內角和為，可得，利用公式展開，進行化簡即可得到。

（1）由成等差數列，有 ①

因為為的內角，所以 ②

由①②得 ③

由是的等比中項和正弦定理得，

是的等比中項， 所以 ④

由余弦定理及③，可得

再由④，得即，因此

從而 ⑤

由②③⑤，得

所以為等邊三角形．

（2）解法1： 要證

只需證

因為、、都為銳角，所以，

故只需證：

只需證：

即證：

因為，所以要證：

即證：

即證：

因為為銳角，顯然

故原命題得證，即．

解法2：因為為銳角，所以

因為

所以， 即

展開得：

所以

因為、、都為銳角，所以，

所以

即