【題目】將所有平面向量組成的集合記作
，
是從到的對應關系，記作
或
，其中
、
、
、
都是實數，定義對應關系的模為：在
的條件下
的最大值記作
，若存在非零向量
，及實數
使得
，則稱為的一個特殊值；
（1）若
，求；
（2）如果
，計算的特征值，并求相應的
；
（3）若
，要使有唯一的特征值，實數
、
、
、
應滿足什么條件？試找出一個對應關系，同時滿足以下兩個條件：①有唯一的特征值，②
，并驗證滿足這兩個條件.
【答案】(1) 
；(2) 當
時,
;當
時, 
.其中
且
；(3) 
,證明見解析
【解析】
(1)由新定義得
,再利用
得
即可.
(2)由特征值的定義可得
,由此可得
的特征值,及相應的
(3) 解方程組
,再利用平行向量的方法求解證明即可.
(1)由于此時,又因為是在的條件下,有
,當
時取最大值,所以此時有;
(2)由
,可得：,
解此方程組可得：
,從而
.
當時,解方程組
,此時這兩個方程是同一個方程,所以此時方程有無窮多個解,為
(寫出一個即可),其中且.
當時,同理可得,相應的
(寫出一個即可),其中且 (3)解方程組,可得
從而向量
與
平行,從而有
、
、
、
應滿足：.
當
時,有唯一的特征值,且
.具體證明為：
由的定義可知：
,所以
為特征值.
此時
滿足：,所以有唯一的特征值.
在的條件下
,從而有.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校高三期中考試后，數學教師對本次全部學生的數學成績按1∶20進行分層抽樣，隨機抽取了20名學生的成績為樣本，成績用莖葉圖記錄如圖所示，但部分數據不小心丟失，同時得到如下表所示的頻率分布表：
分數段（分） |
|
|
|
|
| 總計 |
頻數 |
| |||||
頻率 |
| 0.25 |
（1）求表中
，
的值及成績在
范圍內的樣本數；
（2）從成績
內的樣本中隨機抽取4個樣本，設其中成績在
內的樣本個數為隨機變量
，求的分布列及數學期望
；
（3）若把樣本各分數段的頻率看作總體相應各分數段的概率，現從全校高三期中考試數學成績中隨機抽取5個，求其中恰有2個成績在
內的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，正方體
的棱長為1，線段
上有兩個動點
，
，且
，則下列結論中錯誤的是____________．
①
；
②
平面
；
③三棱錐
的體積為定值；
④異面直線
，
所成的角為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個工廠在某年里連續10個月每月產品的總成本
（萬元）與該月產量
（萬件）之間有如下一組數據：
| 1.08 | 1.12 | 1.19 | 1.28 | 1.36 | 1.48 | 1.59 | 1.68 | 1.80 | 1.87 |
| 2.25 | 2.37 | 2.40 | 2.55 | 2.64 | 2.75 | 2.92 | 3.03 | 3.14 | 3.26 |
（1）通過畫散點圖，發現可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數
加以說明；
（2）①建立月總成本與月產量之間的回歸方程；②通過建立的關于的回歸方程，估計某月產量為1.98萬件時，產品的總成本為多少萬元？（均精確到0.001）
附注：①參考數據：
，
，
，
，
.
②參考公式：相關系數
，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，且以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線
相切．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知動直線l過右焦點F，且與橢圓C交于A、B兩點，已知Q點坐標為
，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的兩個焦點分別為
，長軸長為
．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程及離心率；
（Ⅱ）過點
的直線
與橢圓交于
，
兩點，若點
滿足
，求證：由點 構成的曲線
關于直線
對稱．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“微信運動”已成為當下熱門的運動方式，小王的微信朋友內也有大量好友參與了“微信運動”，他隨機選取了其中的40人（男、女各20人），記錄了他們某一天的走路步數，并將數據整理如下：
性別 步數 | 0～2000 | 2001～5000 | 5001～8000 | 8001～10000 | ＞10000 |
男 | 1 | 2 | 3 | 6 | 8 |
女 | 0 | 2 | 10 | 6 | 2 |
（1）已知某人一天的走路步數超過8000步被系統評定為“積極型”，否則為“懈怠型”，根據題意完成下面的2×2列聯表，并據此判斷能否有95%以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關？
積極型 | 懈怠型 | 總計 | |
男 | |||
女 | |||
總計 |
（2）若小王以這40位好友該日走路步數的頻率分布來估計其所有微信好友每日走路步數的概率分布，現從小王的所有微信好友中任選2人，其中每日走路不超過5000步的有X人，超過10000步的有Y人，設ξ＝|X﹣Y|，求E的分布列及數學期望．
附：K2
，n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為菱形，
為
的中點，
.
（1）求證：
平面
；
（2）點
在線段
上，
，試確定
的值，使
平面
；
（3）若平面，平面
平面，求二面角
的大小.
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