Question

若x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，則下列性質對函數f（x）=2^x成立的是

 

．（把滿足條件的序號全部寫在橫線上）
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）②f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
③[f（x₁）-f（x₂）]•（x₁-x₂）＞0④f(x1)+f(x2)＞2f(

x1+x2

2

)．

Answer 1

分析：①由冪的運算法則計算兩端，驗證是否相等．
②將兩端化簡，驗證是否相等．
③利用函數的單調性去判定
④將已知變形為

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)再去判斷．

解答：解：①f（x₁+x₂）=2x1+x2=2x1×2x2=f（x₁）•f（x₂）①對
②f（x₁•x₂）=2x1•x2，f（x₁）+f（x₂）=2x1+2x2，f（x₁•x₂）≠f（x₁）+f（x₂）②錯
③f（x）在定義域R上是增函數，對于任意的兩不等實數x₁，x₂，若x_1＞x₂ 則f（x₁）_＞f（x₂），若x_1＜x₂ 則f（x₁）＜f（x₂），總之必有[f（x₁）-f（x₂）]•（x₁-x₂）＞0．③對
④如圖A，B為函數圖象上任意不同兩點，M為線段AB的中點，過M且與x軸垂直的直線與圖象交與點P．各點坐標如圖所示．
由圖可知

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)，兩邊同時乘以2，即知④對．
故答案為：①③④．

點評：本題考查指數函數的圖象、單調性、指數冪的運算等知識，數形結合的思想方法，分析解決問題的能力．