Question

【題目】設各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足2 =an+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若bn=（an+1）2 ，求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當n=1時，a1=S1 ， 有2 =a1+1，解得a1=1； 當n≥2時，由2 =an+1得4Sn=an2+2an+1，4Sn﹣1=an﹣12+2an﹣1+1，
兩式相減得4an=an2﹣an﹣12+2（an﹣an﹣1），
所以（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，
因為數列{an}的各項為正，所以an﹣an﹣1﹣2=0，
所以數列{an}是以1為首項，2為公差的等差數列，
所以數列{an}的通項公式為an=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=（an+1）2 =2n22n﹣1=n4n ．
所以前n項和Tn=14+242+343+…+n4n ，
4Tn=142+243+344+…+n4n+1 ，
兩式相減得﹣3Tn=4+42+43+…+4n﹣n4n+1
= ﹣n4n+1 ，
化簡可得Tn= + 4n+1 ．
【解析】（Ⅰ）首先利用Sn與an的關系：當n=1時，a1=S1 ， 當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1；結合已知條件等式推出數列{an}是等差數列，由此求得數列{an}的通項公式；（Ⅱ）首先結合（Ⅰ）求得bn的表達式，然后利用錯位相減法，結合等比數列的求和公式求解即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)，還要掌握數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)的相關知識才是答題的關鍵．