Question

如圖，等腰梯形ABCD中，線段Ab的中點O是拋物線的頂點，DA、AB、BC分別與拋物線切于點M、O、N．等腰梯形的高是3，直線CD與拋物線相交于E、F兩點，線段EF的長是4．
（Ⅰ）建立適當的直角坐標系，求拋物線的方程；
（Ⅱ）求等腰梯形ABCD的面積的最小值，并確定此時M、N的位置．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以AB所在直線為x軸，以O為圓點，建立直角坐標系，則F（2，3），設拋物線方程為y=ax²，a＞0，將F（2，3）代入，能夠求出拋物線方程．
（Ⅱ）由y=

3

4

x2，x∈R，y′=

3

2

x，設N（x₀，y₀），過點N的切線方程為y-y0=

3

2

x0(x-x0)，令y=0，又y0=

3

4

x02，x=

1

2

x0，由此能求出等腰梯形ABCD的面積的最小值，并確定此時M、N的位置．

解答：解：（Ⅰ）以AB所在直線為x軸，以O為圓點，建立直角坐標系，則F（2，3），
設拋物線方程為y=ax²，a＞0，
將F（2，3）代入，得a=

3

4

，
所以，拋物線方程為x2=

4

3

y，x∈R，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：y=

3

4

x2，x∈R，y′=

3

2

x，
設N（x₀，y₀），過點N的切線方程為y-y0=

3

2

x0(x-x0)，
令y=0，又y0=

3

4

x02，∴x=

1

2

x0，
∴B(

1

2

x0，0)．
令y=3，又y0=

3

4

x02，∴x=

x02+4

2x0

，
∴C(

x02+4

2x0

，3)，
∴S四邊形=(

x0

2

+

x02+4

2x0

)•3=3(

2

x0

+x0)≥6

2

，
當且僅當

2

x0

=x0，即x0=

2

時，取“=”號，此時N（

2

，

3

2

），M（-

2

，

3

2

）．

點評：本題考查拋物線的性質和應用．解題時要認真審題，仔細解答，注意均值不等式的合理運用．