Question

（2012•莆田模擬）已知函數f（x）=lnx+x²-mx．
（1）若m=3，求函數f（x）的極小值；
（2）若函數f（x）在定義域內為增函數，求實數m的取值范圍；
（3）若m=1，△ABC的三個頂點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函數f（x）的圖象上，且x₁＜x₂＜x₃，a、b、c分別為△ABC的內角A、B、C所對的邊．求證：a²+c²＜b²．

Answer 1

分析：（1）確定函數f（x）的定義域為（0，+∞），求導函數，確定函數的單調性，從而可求函數的極小值；
（2）求導函數，函數f（x）在定義域內為增函數，轉化為2x²-mx+1≥0在（0，+∞）上恒成立，分離參數，利用基本不等式求最值，即可求實數m的取值范圍；
（3）由（2）知，當m=1時，函數在（0，+∞）上單調遞增，利用

BA

=（x₁-x₂，y₁-y₂），

BC

=（x₃-x₂，y₃-y₂），求得

BA

•

BC

＜0，從而可得∠ABC為鈍角，利用余弦定理可得結論．

解答：（1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），若m=3，則f（x）=lnx+x²-3x
∴f′（x）=

(x-1)(2x-1)

x

令f′（x）＞0，∵x＞0，∴0＜x＜

1

2

或x＞1；令f′（x）＜0，
∵x＞0，∴

1

2

＜x＜1
∴x=1時，函數有極小值為f（1）=-2；
（2）解：求導函數可得：f′（x）=

2x2-mx+1

x

∵函數f（x）在定義域內為增函數，
∴f′（x）=

2x2-mx+1

x

≥0在（0，+∞）上恒成立
∴2x²-mx+1≥0在（0，+∞）上恒成立
∴m≤2x+

1

x

在（0，+∞）上恒成立
∵x＞0時，2x+

1

x

≥2

2

（當且僅當x=

2

2

時取等號）
∴m≤2

2

∴實數m的取值范圍為（-∞，2

2

]；
（3）證明：由（2）知，當m=1時，函數在（0，+∞）上單調遞增
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函數f（x）的圖象上，且x₁＜x₂＜x₃，
∴y₁＜y₂＜y₃，
∴

BA

=（x₁-x₂，y₁-y₂），

BC

=（x₃-x₂，y₃-y₂），
∴x₁＜x₂＜x₃，y₁＜y₂＜y₃，
∴

BA

•

BC

＜0
∴cos＜

BA

，

BC

＞=

BA • BC

| BA || BC |

＜0
∴∠ABC為鈍角
∴

a2+c2-b2

2ac

＜0
∴a²+c²＜b²．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查恒成立問題，考查不等式的證明，分離參數，確定函數的最值是關鍵．