Question

【題目】如圖，平面四邊形中，，是上的一點，是的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）要證平面平面，只需證平面，而，所以只需證，而由已知的數據可證得為等邊三角形，又由于是的中點，所以，從而可證得結論；

（2）由于在中，，而平面平面，所以點在平面的投影恰好為的中點，所以如圖建立空間直角坐標系，利用空間向量求解.

（1）由，所以平面四邊形為直角梯形，設，因為.

所以在中，，則，又，所以，由，

所以為等邊三角形，

又是的中點，所以，又平面，

則有平面，

而平面，故平面平面.

（2）解法一：在中，，取中點，所以，

由（1）可知平面平面，平面平面，

所以平面，

以為坐標原點，方向為軸方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，

設平面的法向量，由得取，則

設直線與平面所成角大小為，

則，

故直線與平面所成角的正弦值為.

解法二：在中，，取中點，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，

所以平面，

過作于，連，則由平面平面，所以，又，則平面，又平面所以，在中，，所以，設到平面的距離為，由，即，即，

可得，

設直線與平面所成角大小為，則.

故直線與平面所成角的正弦值為.