Question

【題目】已知函數f（x）＝x2+tx+1（其中實數t＞0）．

（1）已知實數x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2．若t＝3，試比較x1f（x1）+x2f（x2）與x1f（x2）+x2f（x1）的大小關系，并證明你的結論；

（2）記g（x），若存在非負實數x1，x2，…xn+1，使g（x1）+g（x2）+…+g（xn）＝g（xn+1）（n∈N*）成立，且n的最大值為8，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）；見解析（2）[22，25）．

【解析】

（1）利用作差比較法，結合函數f（x）的單調性進行求解即可；

（2）存在非負實數x1，x2，…xn+1，使g（x1）+g（x2）+…+g（xn）＝g（xn+1）（n∈N*）成立，且n的最大值為8，因此有成立，求出g（x）的表達式，利用基本不等式，分類討論求出的最值，最后求出實數t的取值范圍.

（1）x1f（x1）+x2f（x2）﹣x1f（x2）﹣x2f（x1）＝（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2）），

∵t＝3，

∴f（x）＝x2+3x+1在[﹣1，1]上單調遞增，

由x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2知，f（x1）＜f（x2），

∴（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0，

∴x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）；

（2）∵存在非負實數x1，x2，…xn+1，使g（x1）+g（x2）+…+g（xn）＝g（xn+1）（n∈N*）成立，且n的最大值為8，

∴，

下面求的最值，

當x＝0時，g（0）＝1；

當x＞0時，，

∵，

∴，

①當t＝1時，g（x）＝1，不合題意；

②當0＜t＜1時，，故函數g（x）的值域為，

可得，解得（不符，舍去）；

③當t＞1時，，故函數g（x）的值域為，

可得，解得22≤t＜25；

綜上所述，實數t的取值范圍為[22，25）．