Question

（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程） 在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2

5

sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，

5

)，求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用極坐標(biāo)公式ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ進(jìn)行化簡即可求出圓C普通方程；
（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得到關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程，結(jié)合參數(shù)t的幾何意義利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求得|PA|+|PB|的值．

解答：解：（Ⅰ）∵圓C的方程為ρ=2

5

sinθ．
∴x2+y2-2

5

y=0，
即圓C的直角坐標(biāo)方程：x2+(y-

5

)2=5．
（Ⅱ）(3-

2

2

t)2+(

2

2

t)2=5，即t2-3

2

t+4=0，
由于△=(3

2

)2-4×4=2＞0，故可設(shè)t₁，t₂是上述方程的兩實(shí)根，
所以

t1+t2=3 2 t1t2=4

，又直線l過點(diǎn)P(3，

5

)，
故|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂=3

2

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．