【題目】如圖，在正四棱錐
中，底面正方形的對角線
交于點
且
（1）求直線
與平面
所成角的正弦值；
（2）求銳二面角
的大小．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
(1) 以
分別為
軸,
軸,
軸,建立空間直角坐標系, 設底面正方形邊長為
再求解
與平面
的法向量,繼而求得直線
與平面所成角的正弦值即可.
(2)分別求解平面
與平面
的法向量,再求二面角的余弦值判斷二面角大小即可.
解：
在正四棱錐
中,底面正方形的對角線
交于點
所以
平面
取
的中點
的中點
所以
兩兩垂直,故以點
為坐標原點,
以分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系．
設底面正方形邊長為
因為
所以
所以
,
所以
,
設平面的法向量是
,
因為
,
,
所以
,
,
取
則
,
所以
所以
,
所以直線與平面所成角的正弦值為．
設平面的法向量是,
因為,
,
所以
,
取則
所以
,
由知平面的法向量是,
所以
所以
,
所以銳二面角
的大小為．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為抗擊新型冠狀病毒，普及防護知識，某校開展了“疫情防護”網絡知識競賽活動.現從參加該活動的學生中隨機抽取了100名學生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：
，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求
的值，并估計這100名學生的平均成績（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；
（2）在抽取的100名學生中，規定：比賽成績不低于80分為“優秀”，比賽成績低于80分為“非優秀”.請將下面的2×2列聯表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為“比賽成績是否優秀與性別有關”？
優秀 | 非優秀 | 合計 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合計 | 100 |
參考公式及數據：
.
| 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知過點P（4，0）的動直線與拋物線C：
交于點A，B，且
（點O為坐標原點）.
（1）求拋物線C的方程；
（2）當直線AB變動時，x軸上是否存在點Q使得點P到直線AQ，BQ的距離相等，若存在，求出點Q坐標，若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，圓臺
的軸截面為等腰梯形
，
圓臺的側面積為
.若點
分別為圓
上的動點，且點在平面的同側.
（1）求證:
；
（2）若
，則當三棱錐
的體積取最大值時，求
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，離心率為
，且
在橢圓
上運動，當點恰好在直線l:
上時，
的面積為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）作與
平行的直線
，與橢圓交于
兩點，且線段
的中點為
，若
的斜率分別為
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓Q經過定點
，且與定直線
相切（其中a為常數，且
）.記動圓圓心Q的軌跡為曲線C.
（1）求C的方程，并說明C是什么曲線？
（2）設點P的坐標為
，過點P作曲線C的切線，切點為A，若過點P的直線m與曲線C交于M，N兩點，則是否存在直線m，使得
？若存在，求出直線m斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
件次品和
件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出件次品或者檢測出件正品時檢測結束．
（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；
（2）已知每檢測一件產品需要費用
元，設
表示直到檢測出件次品或者檢測出件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列．
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