Question

【題目】已知二次函數的圖象是以原點為頂點且過點的拋物線，反比例函數的圖象（雙曲線）與直線的兩個交點間的距離為8，.

（1）求函數的表達式；

（2）當時，討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，有一個零點；當時，有兩個零點；當時，有三個零點

【解析】

（1）采用待定系數法，分別假設兩函數解析式，根據所過點和交點距離可構造方程求得參數，從而得到兩函數解析式，進而求得結果；

（2）令，可化簡為，從而確定是方程一個解；

令，將問題轉化為一元二次方程根的個數的討論；分別在、和三種情況下求得根的個數，并驗證根與是否相同，從而得到結果.

（1）設

設，由可得兩交點坐標為和

兩個交點之間距離為，解得：

（2）由（1）知：

令，即 是方程的一個解

令，即

當，即時，方程無實根

當，即時，方程有兩個相等實根

解方程得：

當，即時，方程有兩個不等實根

解方程得：，

令，解得：（舍），

令，方程無解；

，

綜上所述：當時，有一個零點；當時，有兩個零點；當時，有三個零點