Question

【題目】如圖，正四棱錐的底面邊長為，、分別為、的中點.

（1）當時，證明：平面平面；

（2）若平面與底面所成銳二面角為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據四棱錐是正四棱錐，連接交于點，以為原點，以、、建立空間坐標系.取的中點，用向量法證明，，得到平面，再用面面垂直的判定定理證明；

（2）設，求得平面的一個法向量，取平面的一個法向量，根據平面與底面所成銳二面角為，由，求得，設直線與平面所成的角為，代入公式求解.

（1）連接交于點，建立如圖所示空間坐標系.

∵，∴，則，，

，，，，

設是的中點，則，

，，，

∵，，∴，，

，∴平面，

∵平面，∴平面平面；

（2）設，則，，，

則，，

設平面的一個法向量為，則，即，

令，則，，所以，

取平面的一個法向量為，

則，即，解得，∴，

設直線與平面所成的角為，∴，

即直線與平面所成角的正弦值為.