Question

從集合{x|1≤x≤11，且x∈N^*}中選出5個元素構成該集合的一個子集，且此子集中任何兩個元素的和不等于12，則這樣的不同子集共有

112

個（用數字作答）．

Answer 1

分析：由12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，知11個元素中和為12的正好是5對，選出5個元素構成該集合的一個子集，且此子集中任何兩個元素的和不等于12的不同取法有兩種：一是在五對中各取一個，不同的取法有：2⁵=32種；二是在五對中選取四對，從選取中的四對中各取一個，再取一個元素6，不同的取法有：C₅¹•2⁴=80種．由此能求出任何兩個元素的和不等于12的不同子集的個數．

解答：解：∵12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，
11個元素中和為12的正好是5對，
∵此子集中任何兩個元素的和不等于12，
∴取了1就不能取11，2不能取10，…等等，
即5對里每對只能取2個數中的1個，
∴選出5個元素構成該集合的一個子集，
且此子集中任何兩個元素的和不等于12的不同取法有兩種：
一是在五對中各取一個，不同的取法有：2⁵=32種；
二是在五對中選取四對，從選取中的四對中各取一個，再取一個元素6，
不同的取法有：C₅¹•2⁴=80種．
故這樣的不同子集共有：32+80=112個．
故答案為：112．

點評：本題考查排列、組合及簡單計數問題，解題時要認真審題，注意合理分類，易錯點是分類不清，導致出錯．