Question

如圖，將一張矩形的紙對折以后略微展開，豎立在桌面上，說明折痕為什么與桌面垂直．

從圖中可直觀地看出，折痕垂直于對折后的紙與桌面所形成的交線．由直線與平面垂直的判定定理知，折痕與桌面垂直．那么在折痕垂直于紙與桌面的交線未知的情況下，單憑折后的紙與桌面垂直，能否得出折痕與桌面垂直？轉化為數學語言，即如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線也垂直于第三個平面嗎？下面用不同的方法證明．

如圖，已知平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ，且β∩γ＝a，β∩α＝l，γ∩α＝m．

求證：a⊥α．

Answer 1

答案：
解析：

一、利用線面垂直的判定定理 　　分析：要直接證β，γ與α的交線l，m與a垂直較難．可以換一個角度思考，想辦法在α內找出其他兩條相交直線均與a垂直，而解決線線垂直的方法之一是證明線面垂直．由于α⊥β，α⊥γ，因此需要在平面α內引兩條相交直線分別與l，m垂直． 　　證明：如下圖，在α內取一點P，作PA⊥l于點A，PB⊥m于點B． 　　因為α⊥β，α⊥γ，β∩α＝l，γ∩α＝m， 　　所以PA⊥β，PB⊥γ， 　　所以PA⊥a，PB⊥a． 　　又PAα，PBα，PA∩PB＝P， 　　所以a⊥α． 　　二、利用同一法 　　分析：要證a⊥α，可在a上取一點，過此點作直線垂直于α，然后證明a與此直線重合，這就要使得此直線同時在兩平面β，γ內． 　　證明：如圖，在a上取一點Q，在β內作QC⊥l于點C． 　　因為α⊥β，且β∩α＝l， 　　所以QC⊥α． 　　同理，在γ內作QD⊥m于點D，則QD⊥α． 　　因為過平面α外一點所作的垂線是唯一的， 　　所以QC與QD重合． 　　因為QCβ，即QDβ，且QDγ， 　　所以β∩γ＝QD． 　　所以QD與a重合，于是a⊥α． 　　三、利用平行線的傳遞性 　　分析：要證a⊥α，可利用空間平行線的傳遞性，證明直線a的某條平行線與α垂直即可． 　　證明：如圖，在β內取不在a上的一點M，過M作直線b⊥l． 　　因為β⊥α，且β∩α＝l，所以b⊥α． 　　同理，在γ內取不在a上的一點N，過N作直線c⊥m，則c⊥α． 　　所以b∥c． 　　因為bγ，cγ， 　　所以b∥γ． 　　又因為bβ，β∩γ＝a， 　　所以b∥a． 　　因為b⊥α，所以a⊥α． 　　點評：本題主要考查了直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直關系． 　　本題的三種證法都是用符號語言表示的，因此，同學們要具有轉譯文字語言、圖形語言的能力及較強的空間想象能力．