Question

【題目】為培養學生的閱讀習慣，某校開展了為期一年的“弘揚傳統文化，閱讀經典名著”活動. 活動后，為了解閱讀情況，學校統計了甲、乙兩組各10名學生的閱讀量（單位：本），統計結果用莖葉圖記錄如下，乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以a表示.

（Ⅰ）若甲組閱讀量的平均值大于乙組閱讀量的平均值，求圖中a的所有可能取值；

（Ⅱ）將甲、乙兩組中閱讀量超過15本的學生稱為“閱讀達人”. 設，現從所有的“閱讀達人”里任取2人，求至少有1人來自甲組的概率；

（Ⅲ）記甲組閱讀量的方差為. 若在甲組中增加一個閱讀量為10的學生，并記新得到的甲組閱讀量的方差為，試比較，的大小.（結論不要求證明）

（注：，其中為數據的平均數）

Answer 1

【答案】（Ⅰ） 或. （Ⅱ） （Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）分別求出甲組10名學生閱讀量的平均值和乙組10名學生閱讀量的平均值，由此能求出圖中a的取值．

（Ⅱ）記事件“從所有的“閱讀達人”里任取2人，至少有1人來自甲組”為M．甲組“閱讀達人”有2人，在此分別記為A1，A2；乙組“閱讀達人”有3人，在此分別記為B1，B2，B3．從所有的“閱讀達人”里任取2人，利用列舉法能求出從所有的‘閱讀達人’里任取2人，至少有1人來自甲組的概率．

（Ⅲ）由莖葉圖直接得．

（Ⅰ）甲組10名學生閱讀量的平均值為，

乙組10名學生閱讀量的平均值為.

由題意，得，即.

故圖中a的取值為或.

（Ⅱ）記事件“從所有的“閱讀達人”里任取2人，至少有1人來自甲組”為M.

由圖可知，甲組“閱讀達人”有2人，在此分別記為，；乙組“閱讀達人”有3人，在此分別記為，，.

則從所有的“閱讀達人”里任取2人，所有可能結果有10種， 即，，，，，，，，，.

而事件M的結果有7種，它們是，，，，，，

所以.

即從所有的‘閱讀達人’里任取2人，至少有1人來自甲組的概率為.

（Ⅲ）由莖葉圖直接觀察可得.