Question

已知函數（且）．
(1) 試就實數的不同取值，寫出該函數的單調遞增區間；
(2) 已知當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，求的值并寫出函數的解析式；
(3) （理）記(2)中的函數的圖像為曲線，試問是否存在經過原點的直線，使得為曲線的對稱軸？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．
(文) 記(2)中的函數的圖像為曲線，試問曲線是否為中心對稱圖形？若是，請求出對稱中心的坐標并加以證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

(1) ①當時，函數的單調遞增區間為及，
②當時，函數的單調遞增區間為及，
③當時，函數的單調遞增區間為及．
(2) ．                    
(3) （理）存在直線及為曲線的對稱軸．          
（文）函數為奇函數，曲線為中心對稱圖形．

(1) ①當時，函數的單調遞增區間為及，
②當時，函數的單調遞增區間為及，
③當時，函數的單調遞增區間為及．
（6分）
(2) 由題設及(1)中③知且，解得，            （9分）
因此函數解析式為．                    （10分）
(3) （理）假設存在經過原點的直線為曲線的對稱軸，顯然、軸不是曲線的對稱軸，故可設：（），
設為曲線上的任意一點，與關于直線對稱，且
，，則也在曲線上，由此得，，
且，，                           （14分）
整理得，解得或，
所以存在直線及為曲線的對稱軸．          （16分）
（文）該函數的定義域，曲線的對稱中心為，
因為對任意，，
所以該函數為奇函數，曲線為中心對稱圖形．