Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求直線與曲線的普通方程；

（2）若直線與曲線交于、兩點，點，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（或）；；（2）.

【解析】

（1）由可將直線的極坐標(biāo)方程化為普通方程，在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可將曲線的參數(shù)方程化為普通方程；

（2）求得直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)點、對應(yīng)的參數(shù)分別為、，將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，進(jìn)而可計算出的值.

（1）因為，所以，

所以直線的普通方程為（或）．

因為曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），可得，

，

所以曲線的普通方程為；

（2）設(shè)直線的傾斜角為，直線的斜率為，

由題意可得，解得，

易知點在直線上，所以，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

設(shè)點、對應(yīng)的參數(shù)分別為、，

將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程得，，

由韋達(dá)定理得，，所以，，，

故．