Question

【題目】已知a，b，c分別是△ABC的角A，B，C所對的邊，且c=2，C= ．
（1）若△ABC的面積等于 ，求a，b；
（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵c=2，C= ，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，

∴4=a2+b2﹣ab，

∵ = ，化為ab=4．

聯立 ，解得a=2，b=2．

（2）解：∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，

∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，

2sinBcosA=4sinAcosA，

當cosA=0時，解得A= ；

當cosA≠0時，sinB=2sinA，

由正弦定理可得：b=2a，

聯立 ，解得 ，b= ，

∴b2=a2+c2，

∴ ，

又 ，∴ ．

綜上可得：A= 或 ．

【解析】（1）c=2，C= ，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab，利用三角形面積計算公式 = ，即ab=4．聯立解出即可．（2）由sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA．當cosA=0時，解得A= ；當cosA≠0時，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，聯立解得即可．