Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為、，過的直線與橢圓相交于、兩點．

（1）求 的周長；

（2）設點為橢圓的上頂點，點在第一象限，點在線段上．若，求點的橫坐標；

（3）設直線不平行于坐標軸，點為點關于軸的對稱點，直線與軸交于點．求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）8（2）（3）

【解析】

（1）由橢圓定義可得結果；

（2）設，利用及點在橢圓上，即可解得點的橫坐標；

（3）設，直線的方程為，聯立方程利用韋達定理可得結果.

解:（1） 橢圓的長軸長為

由橢圓定義知，的周長為；

（2）由橢圓方程得，

設，

由，得， ①

點線段上，所以滿足方程為②

將①式代入②，得，

代入橢圓方程，得，

因為，所以

（3）設，直線的方程為，

則點的坐標為，直線的方程為，

，

將直線方程代入橢圓方程得：

，

則，

所以，

，

所以面積的最大值為