Question

（2012•紹興一模）如圖，在直角三角形OAB中，P，Q是斜邊AB的兩個三等分點(diǎn)，已知|

OP

|=sinα，且|

OQ

|=cosα(0＜α＜

π

2

)．
（1）若2sinα+cosα=

11

5

，求tanα的值；
（2）試判斷|

AB

|是否為定值，并說明理由；
（3）求△OPQ的面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）將sin²α+cos²α=1和已知條件聯(lián)立，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，解方程求出sinα和cosα，即可求出tanα的值；
（2）根據(jù)sin²α+cos²α=1以及|

OP

|=

OA

+

1

3

AB

，

OQ

=

OB

-

1

3

AB

將其化簡即可得出結(jié)論；
（3）作OC⊥AB于C，列出三角形的面積，然后根據(jù)均值不等式得出答案．

解答：解：（1）

2sinα+cosα= 11 5 sin2α+cos2α=1

，消去cosα得5sin2α-

44

5

sinα+

96

25

=0，…（2分），即(5sinα-4)(sinα-

24

25

)=0，⇒

sinα= 4 5 cosα= 3 5

，或

sinα= 24 25 cosα= 7 25

得tanα=

4

3

或

24

7

．…（5分）
（2）1=sin2α+cos2α=|

OP

|2+|

OQ

|2=(

OA

+

1

3

AB

)2+(

OB

-

1

3

AB

)2=

OA

2+

OB

2+

2

9

AB

2+

2

3

AB

•(

OA

-

OB

)=

AB

2(1+

2

9

-

2

3

)=

5

9

AB

2
所以，|

AB

|=

3

5

5

為為定值．…（6分）
（3）作OC⊥AB于C，則△OPQ的面積為S=

1

2

|PQ||OC|=

1

6

|AB||OC|=

1

6

ab≤

1

6

•

a2+b2

2

=

3

20

（當(dāng)a=b時取等號）…（4分）

點(diǎn)評：此題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角函數(shù)與向量的結(jié)合問題，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．