Question

【題目】已知函數f（x）=xex﹣a（lnx+x）．
（1）若函數f（x）恒有兩個零點，求a的取值范圍；
（2）若對任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立． ①求實數a的值；
②證明：x2ex＞（x+2）lnx+2sinx．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=xex﹣alnx﹣ax，x＞0，則 ．

當a≤0時，f'（x）＞0，故f（x）單調遞增，故不可能存在兩個零點，不符合題意；

當a＞0時，f'（x）=0有唯一解x=x0，此時 ，則 ．

注意到 ，因此

（2）解：①當a＜0時，f（x）單調遞增，f（x）的值域為R，不符合題意；

當a=0時，則 ，也不符合題意．

當a＞0時，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．

令 ，上式即轉化為lnt≥t﹣1，

設h（t）=lnt﹣t+1，則 ，因此h（t）在（0，1）上單調遞增，

在（1，+∞）上單調遞減，從而h（x）max=h（1）=0，所以lnt≤t﹣1．

因此，lnt=t﹣1t=1，從而有 ．

故滿足條件的實數為a=1．

②證明：由①可知x2ex﹣xlnx≥x2+x，因而只需證明：x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．

注意到前面已經證明：x﹣1≥lnx，因此只需證明：x2﹣x+2＞2sinx．

當x＞1時，恒有2sinx≤2＜x2﹣x+2，且等號不能同時成立；

當0＜x≤1時，設g（x）=x2﹣x+2﹣2sinx，則g'（x）=2x﹣1﹣2cosx，

當x∈（0，1]時，g'（x）是單調遞增函數，且 ，

因而x∈（0，1]時恒有g'（x）＜0；從而x∈（0，1]時，g（x）單調遞減，

從而g（x）≥g（1）=2﹣2sin1＞0，即x2﹣x+2＞2sinx．

故x2ex＞（x+2）lnx+2sinx

【解析】（1）利用導數的運算法則可得f′（x），對a分類討論，當a≤0時，f'（x）＞0，故f（x）單調遞增，舍去．當a＞0時，f'（x）=0有唯一解x=x0 ， 此時 ，求出極值，進而得出答案．（2）①當a≤0時，不符合題意．當a＞0時，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令 ，上式即轉化為lnt≥t﹣1，利用導數研究其單調性極值即可得出．②由①可知x2ex﹣xlnx≥x2+x，因而只需證明：x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．注意到前面已經證明：x﹣1≥lnx，因此只需證明：x2﹣x+2＞2sinx．對x分類討論，利用導數研究函數的單調性極值即可得出．