Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣lnx﹣1，g（x）=k（f（x）﹣x）+ ，（k∈R）．
（1）求曲線y=f（x）在（2，f（2））處的切線方程；
（2）求函數g（x）的單調區間；
（3）當1＜k＜3，x∈（1，e）時，求證：g（x）＞﹣ （1+ln3）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=x﹣lnx﹣1，可得f′（x）=1﹣ ．

即有f（2）=1﹣ln2，f′（2）= ，

所以切線方程是y﹣（1﹣ln2）= （x﹣2），

即為y= x﹣ln2；

（2）解：由f（x）=x﹣lnx﹣1，

可得g（x）=k（f（x）﹣x）+ = ﹣klnx﹣k，

g′（x）=x﹣ = ，（x＞0），

①當k≤0時，g′（x）＞0．

可得g（x）的單調遞增區間是（0，+∞），無單調遞減區間；

②當k＞0時，令g′（x）＞0，得x＞ ；令g′（x）＜0，得0＜x＜ ．

所以g（x）的單調遞增區間是（ ，+∞），單調遞減區間是（0， ）

（3）證明：由（2）知，當1＜k＜3，x∈（1，e），g（x）的導數和函數值變化情況如下圖

x	（1， ）		（ ，e）
g′（x）	﹣	0	+
g（x）	遞減	極小值	遞增

所以g（x）的最小值是g（ ）=﹣ ﹣ lnk；

令h（k）=﹣ ﹣ lnk，可得h′（k）=﹣1﹣ lnk，

因為1＜k＜3，所以lnk＞0，

所以h′（k）＜0，

即有h（k）在（1，3）上單調遞減．

則h（k）＞h（3）=﹣ ﹣ ln3．

當1＜k＜3，x∈（1，e）時，g（x）＞﹣ ﹣ ln3=﹣ （1+ln3）．

綜上所述，當1＜k＜3，x∈（1，e）時，g（x）＞﹣ （1+ln3）

【解析】（1）求出函數的導數，切點坐標，斜率，運用點斜式方程即可求解切線方程；（2）求出g（x）的解析式，求得導數，通過①當k≤0時，②當k＞0時，由導數大于0，可得增區間，導數小于0，可得減區間，注意定義域；（3）通過（2），當1＜k＜3，x∈（1，e），g（x）的導數和函數值變化情況，求出函數的極值、最值，構造函數h（k）=﹣ ﹣ lnk，求出導數，判斷單調性，證明即可得到．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．