Question

【題目】（文科學生做）已知數(shù)列滿足.

（1）求，，的值，猜想并證明的單調性；

（2）請用反證法證明數(shù)列中任意三項都不能構成等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】(1) ，猜想該數(shù)列為單調遞減數(shù)列，證明見解析.

(2)見解析.

【解析】分析：（1）由題可直接計算，，的值，根據(jù)數(shù)值的增減性可猜想單調性；（2）反證法證明，先假設結論的反面成立，然后根據(jù)假設結合題設找出矛盾即可得原命題正確.

詳解：

（1）計算得，猜想該數(shù)列為單調遞減數(shù)列.

下面給出證明：，

因為，故，所以恒成立，即數(shù)列為單調遞減數(shù)列.

（2）假設中存在三項成等差數(shù)列，不妨設為 這三項，

由（1）證得數(shù)列為單調遞減數(shù)列，則，即，

兩邊同時乘以，則等式可以化為，（※）

因為，所以均為正整數(shù)，故與為偶數(shù)，

而為奇數(shù)，因此等式（※）兩邊的奇偶性不同，故等式（※）不可能成立，

所以假設不成立，故數(shù)列中任意三項都不能構成等差數(shù)列．