Question

設f₁（x）=，定義f_n+1 （x）=f₁[f_n（x）]，a_n=（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+2na_2n，Q_n=（n∈N^*），試比較9T_2n與Q_n的大小，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f₁（0）=2，a₁==，f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=，
∴a_n+1====-=-a_n．
∴數列{a_n}是首項為，公比為-的等比數列，
∴a_n=（）ⁿ-¹．
（2）∵T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+（2n-1）a_2n-₁+2na_2n，
∴T_2n=（-a₁）+（-）2a₂+（-）3a₃+…+（-）（2n-1）a_2n-1+2na_2n
=a₂+2a₃+…+（2n-1）a_2n-na_2n．
兩式相減，得T_2n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n+na_2n．
∴T_2n=+n×（-）²ⁿ-¹=-（-）²ⁿ+（-）²ⁿ-¹．
T_2n=-（-）²ⁿ+（-）²ⁿ-¹=（1-）．
∴9T_2n=1-．
又Q_n=1-，
當n=1時，2²ⁿ=4，（2n+1）²=9，∴9T_2n＜Q _n；
當n=2時，2²ⁿ=16，（2n+1）²=25，∴9T_2n＜Q_n；
當n≥3時，2²ⁿ=[（1+1）ⁿ]²=（C_n⁰+C_n¹+C_n³+…+C_nⁿ）²＞（2n+1）²，∴9T_2n＜Q_n；
綜上得：9T_2n＜Q _n．
分析：（1）根據f₁（x）=，定義f_n+1 （x）=f₁[f_n（x）]，a_n=（n∈N^*）．可得f₁（0）=2，a₁==，f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=，從而a_n+1=-a_n．所以數列{a_n}是首項為，公比為-的等比數列，故可求數列{a_n}的通項公式．
（2）利用錯誤相減法求得T_2n=（1-），從而9T_2n=1-，又Q_n=1-，故當n=1時，2²ⁿ=4，（2n+1）²=9，所以9T_2n＜Q _n；當n=2時，2²ⁿ=16，（2n+1）²=25，所以9T_2n＜Q_n；當n≥3時，2²ⁿ=[（1+1）ⁿ]²=（C_n⁰+C_n¹+C_n³+…+C_nⁿ）²＞（2n+1）²，從而得到結論．
點評：本題以函數為載體，考查數列的通項，考查等比數列的定義，考查錯位相減法求數列的和，考查分類討論的數學思想，綜合性強．