Question

（2013•瀘州一模）已知命題p：夾角為m的單位向量a，b使|a-b|＞l，命題q：函數f（x）=msin（mx）的導函數為f′（x），若?x_o∈R，f′(xo)≥

4π2

5

．設符合p∧q為真的實數m的取值的集合為A．
（I）求集合A；
（Ⅱ）若B={x∈R|x²=πa}，且B∩A=∅，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）分別求出命題為真時，參數的范圍，再根據p∧q為真，則p真q真，建立不等式組，從而可求實數m的取值范圍．
（II）由條件A∩B=φ，對字母a分類討論，我們易構造出一個關于a的不等式，解此不等式即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（I）∵|

a

-

b

|＞1，|

a

|=|

b

|=1
∴

a

²+

b

²-2

a

•

b

=2-2cosm＞1
∴cosm＜

1

2

∵0≤m≤π
∴

π

3

＜m≤π
即命題p為真時，m的取值對應的集合P=（

π

3

，π]
函數f（x）=msin（mx）的導函數f′（x）=m²cos（mx），
若?x_o∈R，f′(xo)≥

4π2

5

．則f′（x）_max=m²≥

4π2

5

解得m≤-

2 5 π

5

或m≥

2 5 π

5

，
p∧q為真，即p和q都為真，此時有

π

3

＜m≤π且m≤-

2 5 π

5

或m≥

2 5 π

5

，
即

2 5 π

5

≤m≤π
故實數m的取值的集合為A=[

2 5 π

5

，π]．
（II）（1）若B=∅，滿足B∩A=∅，
此時實數a的取值范圍a＜0；
（2）若B≠∅，則a≥0，此時B={x|x=±

πa

}，
由B∩A=∅，得

πa

≤

π

3

，或

πa

≤

2 5

5

π，
∴0≤a≤

π

9

，或a≥

4

5

π．
綜上，實數a的取值范圍是（-∞，

π

9

]∪[

4

5

π，+∞）．

點評：本題的考點是集合的包含關系判斷及應用，主要考查集合的關系、集合的運算，同時考查向量運算與導數的應用．集合關系中的參數取值問題，其中根據已知條件，構造出關于a的不等式組，是解答本題的關鍵．本題是一個中檔題目．