Question

（本小題滿分14分）設函數（a、b、c、d∈R）圖象關于原點對稱，且x=1時，取極小值．
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）若對任意的，恒有成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）當時，函數圖象上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直？試證明你的結論；
（IV）設表示的曲線為G，過點作曲線G的切線，求的方程．

Answer 1

（Ⅰ）  （Ⅱ）     （IV）

（Ⅰ）∵對任意實數，
∴，
即恒成立，，    ，
時，取極小值，解得，      ∴所求的函數解析式即為；                           ……4分
（Ⅱ）由已知，，    ∴在區間上的最小值為，
依題意恒成立，∴，
解得即為所求的范圍；                                                     …………7分
（Ⅲ）假設圖象上存在兩點、，使得過此兩點處的切線互相垂直，
則由知兩點處的切線斜率分別，
且，、，，矛盾，故假設不成立，
∴當時，圖象上不存在這樣的兩點使結論成立；               …………10分
（IV）設切點為P，切線方程則為，
且，消去得，
∴，∴，，
即切點為（3，6），∴所求的切線方程為； …………14分