Question

【題目】（本題滿分15分）已知數列{an}的前n項和為Sn，且an是Sn與2的等差中項，數列{bn}中，b1=1，點P（bn，bn+1）在直線x-y+2=0上。

（1）求a1和a2的值；

（2）求數列{an}，{bn}的通項an和bn；

（3）設cn=an·bn，求數列{cn}的前n項和Tn

Answer 1

【答案】（1）a2="4" （2）bn=2n-1，an=2n

（3）Tn=(2n-3)2n+1+6

【解析】

（1）∵an是Sn與2的等差中項∴Sn=2an-2 。。。。1

∴a1=S1=2a1-2，解得a1="2 " 。。。。2

a1+a2=S2=2a2-2，解得a2="4 " 。。。 。3

（2）∵Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，

又Sn—Sn-1=an，。。。。5

∴an=2an-2an-1， ∵an≠0，∴，。。6

即數列{an}是等比數列∵a1=2，∴an=2n 。。。。7

∵點P(bn，bn+1)在直線x-y+2=0上，∴bn-bn+1+2=0， 。。 。8

∴bn+1-bn=2，即數列{bn}是等差數列，又b1=1，∴bn=2n-1， 9分 （3）∵cn=(2n-1)2n

∴Tn=a1b1+ a2b2+····anbn=1×2+3×22+5×23+····+(2n-1)2n，

∴2Tn=1×22+3×23+····+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1

因此：-Tn=1×2+(2×22+2×23+···+2×2n)-(2n-1)2n+1，

即：-Tn=1×2+(23+24+····+2n+1)-(2n-1)2n+1，

∴Tn=(2n-3)2n+1+6 ··14分