Question

．(本小題滿分14分)已知函數f (x)=lnx，g(x)=e^x．
( I)若函數φ (x) = f (x)－，求函數φ (x)的單調區間；
(Ⅱ)設直線l為函數的圖象上一點A(x₀，f (x₀))處的切線．證明：在區間(1，+∞)上存在唯一的x₀，使得直線l與曲線y=g(x)相切．

Answer 1

解：（Ⅰ） ，
．·················· 2分
∵且，
∴
∴函數的單調遞增區間為．··············· 4分
（Ⅱ）∵ ，∴，
∴ 切線的方程為,
即, 　　① ··················· 6分
設直線與曲線相切于點，
∵，∴，∴．··············· 8分
∴直線也為，
即， ②···················· 9分
由①②得 ，
∴．·························· 11分
下證：在區間（1，+）上存在且唯一.
由（Ⅰ）可知，在區間上遞增．
又，，······ 13分
結合零點存在性定理，說明方程必在區間上有唯一的根，這個根就是所求的唯一．                                               
故結論成立．

略