Question

【題目】如圖，在三棱錐中， 底面分別是的中點， 在，且.

（1）求證： 平面；

（2）在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；

若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；(2)存在.

【解析】試題分析：（1）通過證明AF與平面SBC內的兩條相交直線垂直即可；
（2）建立空間直角坐標系，由，所以，求得平面的法向量為，平面的法向量為，由二面角的大小為，得，化簡得，又，求得即.

試題解析：

（1）由，

是的中點，得，

因為底面，所以，

在中， ，所以，

因此，又因為，

所以，

則，即，因為底面，

所以，又,

又，所以平面.

(2)假設滿足條件的點，存在，

并設，以為坐標原點，分別以為軸建立空間之間坐標系，

則，

由，所以，所以，

設平面的法向量為，

則 ，取，得，

即，設平面的法向量為，

則 ，取，得，

即，

由二面角的大小為，得，

化簡得，又，求得，于是滿足條件的點存在，且.