Question

已知集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，M={（x，y）||x|+|y|＜a}，P={（x，y）y=f（x）}，現給出下列函數：
①y=a^x
②y=log_ax
③y=sin（x+a）
④y=cosax，
若0＜a＜1時，恒有P∩∁uM=P，則f（x）所有可取的函數的編號是（ ）
A．①②③④
B．①②④
C．①②
D．④

Answer 1

【答案】分析：利用補集的定義求出∁uM，由P∩∁uM=P，得到P⊆∁uM，故P中的函數f（x）必須滿足||x|+|y|≥a，檢驗各個選項是否滿足此條件．
解答：解：∵∁uM={（x，y）||x|+|y|≥a}，0＜a＜1時，P∩∁uM=P，∴P={（x，y）y=f（x）}⊆∁uM，
如圖所示：結合圖形可得滿足條件的函數圖象應位于曲線|x|+|y|=a（-a≤x≤a ）的上方．
①中，x∈R，y＞0，滿足|x|+|y|≥a，故①可取．
②中，x＞0，y=log_a^x∈R，滿足||x|+|y|≥a，故②可取．
③中的函數不滿足條件，如  x=0，a= 時，y=，不滿足|x|+|y|≥a．
④中x∈R，-1≤y≤1，滿足||x|+|y|≥a，故④可取．
故選B．
點評：本題考查補集的定義和運算，交集的定義和運算，求出∁uM={（x，y）||x|+|y|≥a}，是解題的關鍵．