Question

【題目】已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，以右焦點(diǎn)為圓心以3為半徑的圓與直線相切．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點(diǎn)、．當(dāng)時(shí)，求三角形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用焦點(diǎn)到直線的距離等于半徑和上頂點(diǎn)坐標(biāo)可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）設(shè)為中點(diǎn)，由可知，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，利用韋達(dá)定理表示出，根據(jù)判別式可構(gòu)造不等式求得的范圍；利用弦長公式和點(diǎn)到直線距離公式求得弦長和三角形的高，代入面積公式可整理得到關(guān)于的函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)可確定取最大值時(shí)的取值，進(jìn)而得到最大值.

（1）設(shè)橢圓方程為：.

橢圓焦點(diǎn)在軸上，且一個(gè)頂點(diǎn)為，則且，

則右焦點(diǎn)，，解得：，

橢圓方程為：.

（2）設(shè)，，為中點(diǎn)，

由得：，

，解得：…①

則，，

，，

，

，，即，

，代入①中得：，解得：，

由得：，的取值范圍為.

，

原點(diǎn)到直線的距離，

，

，當(dāng)時(shí)，取得最大值.