Question

【題目】離心率為的橢圓經過點，是坐標原點．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且？若存在，求出該圓的方程，并求的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）存在，理由見解析；圓的方程為；.

【解析】

（1）利用離心率和橢圓所過點聯立方程組可求橢圓的方程；

（2）先假設存在符合要求的圓，利用求出圓的切線，結合弦長公式表示出，利用基本不等式求解范圍.

（1）因為橢圓經過點，所以；

又離心率為，所以，結合可得，

所以橢圓的方程為.

（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且，設圓的切線方程為，.

聯立得，

即.

因為，所以，即，

所以，即；

因為圓的切線方程為，所以圓的半徑為，，所求圓的方程為.

由及可得，即或；

當圓的切線斜率不存在時，切線方程為，切線與橢圓的交點為或者，均滿足.

綜上可知，存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且.

因為

所以

當時，由于，所以，當且僅當時，取到最大值3；

當時，；

當斜率不存在時，直線與橢圓交于或者此時.

綜上可知，.