Question

【題目】設等差數列{an}的前n項和為Sn，已知：a5＝2a2+3且a2，，a14成等比數列．

（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；

（Ⅱ）設正項數列{bn}滿足bn2Sn+1＝Sn+1+2，求證：b1+b2+…+bn＜n+1．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）an＝2n﹣1；（Ⅱ）詳見解析．

【解析】

（Ⅰ）設等差數列{an}的公差為d，運用等差數列的通項公式和求和公式，以及等比數列的中項性質，注意，解方程可得首項和公差，即可得到所求通項公式；

（Ⅱ）求得，求得，并推得，再由數列的分組求和以及裂項相消求和，結合不等式的性質即可得證．

（Ⅰ）設等差數列的公差為d，由可得，

又，，成等比數列，可得，

即，且，

解得，，

則；

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得，

由，可得，

由

，

故.

得證.