Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知定點，點在軸上運動，點在軸上運動，點為坐標平面內(nèi)的動點，且滿足，.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過曲線第一象限上一點（其中）作切線交直線于點，連結(jié)并延長交直線于點，求當面積取最小值時切點的橫坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)點，，，由已知條件推導(dǎo)出點，，由此能求出動點的軌跡的方程；

（2）分別求出切線 與 的方程，求得， 的縱坐標，寫出三角形的面積，利用導(dǎo)數(shù)求解當△面積取最小值時切點的橫坐標．

解：（1）設(shè)，，.因為，，

所以，，，所以.

（2）

或

或

因為為曲線上第一象限的點，則

過（其中）作曲線的切線，則切線的斜率

所以切線：，將代入得，

直線：，將代入得，，

因為在拋物線上且在第一象限，所以，所以，

設(shè)，，

，

，

.