Question

某學校舉行知識競賽，第一輪選拔共設有A，B，C，D四個問題，規則如下：①每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題A，B，C，D分別加1分，2分，3分，6分，答錯任意題減2分；
②每答一題，計分器顯示累計分數，當累積分數小于8分時，答題結束，淘汰出局；當累積分數大于或等于14分時，答題結束，進入下一輪；答完四題累計分數不足14分時，答題結束淘汰出局；
③每位參加者按A，B，C，D順序作答，直至答題結束．
假設甲同學對問題A，B，C，D回答正確的概率依次為，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．
（Ⅰ）求甲同學能進入下一輪的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲同學本輪答題的個數，求ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，列舉甲能進入下一輪的五種情況，由于每題答題結果相互獨立，根據相互獨立事件和互斥事件的概率公式得到結果．
（2）由題意可知答對一個題或答錯一個題都不能決定甲的去留，所以最少答兩個題，隨機變量ξ可能的取值為2，3，4，由于每題的答題結構都是相對獨立的，根據相互獨立事件同時發生的概率得到結果．
解答：解：設A，B，C，D分別是第一、二、三、四個問題，用M_i（i=1，2，3，4）表示甲同學第i個問題回答正確，
用N_i（i=1，2，3，4）表示第i個問題回答錯誤，則M_i與N_i（i=1，2，3，4）是對立事件．由題意得，
則．
（Ⅰ）記“甲同學能進入下一輪”為事件Q，
則Q=M₁M₂M₃+N₁M₂M₃M₄+M₁N₂M₃M₄+M₁M₂N₃M₄+N₁M₂N₃M₄
由于每題答題結果相互獨立，
∴P（Q）=P（M₁M₂M₃+N₁M₂M₃M₄+M₁N₂M₃M₄+M₁M₂N₃M₄+N₁M₂N₃M₄）
=P（M₁M₂M₃）+P（N₁M₂M₃M₄）+P（M₁N₂M₃M₄）+P（M₁M₂N₃M₄）+P（N₁M₂N₃M₄）=
（Ⅱ）由題意可知隨機變量ξ可能的取值為2，3，4，
由于每題的答題結果都是相對獨立的，
∵，
，
P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）=1--=
∴．
點評：本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查相互獨立立事件、對立事件的概率和求解辦法，考查用概率知識解決實際問題的能力．