Question

【題目】如圖，三棱柱的側棱垂直于底面，且，，，，是棱的中點.

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）根據平面，四邊形是矩形，由為中點，且，利用平面幾何知識，可得，又平面，所以，根據線面垂直的判定定理可有平面，從而得證.

（2）分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，得到，，，，分別求得平和平面的法向量，代入二面角向量公式求解.

（1）證明：∵平面，

∴四邊形是矩形，

∵為中點，且，

∴，

∵，，，

∴.∴，

∵，∴與相似，

∴，∴，

∴，

∵，∴平面，

∴平面，

∵平面，∴，

∴平面，∴.

（2）如圖，

分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，

則，，，

設平面的法向量為，則，，

解得：，

同理，平面的法向量，

設二面角的大小為，

則.

即二面角的余弦值為.