Question

O為坐標原點, 和兩點分別在射線 上移動,且,動點P滿足,
記點P的軌跡為C.
(I)求的值;
(II)求P點的軌跡C的方程,并說明它表示怎樣的曲線?
(III)設點G(－1,0),若直線與曲線C交于M、N兩點,且M、N兩點都在以G為圓心的圓上,求的取值范圍.

Answer 1

(I)   
(II)軌跡C的方程為,它表示焦點在軸上的雙曲線.
(III)

(I) ∵,分別在射線上,

即,

又∵     .
,     .
(II) 設由可得
即

兩式相減有: .
∵、不同時為0,   
軌跡C的方程為,它表示焦點在軸上的雙曲線.
(III)
消去,整理得: .
∵直線與曲線C交于M、N兩點,
設

即
由(1)整理得:
由(3)有:
由(2)有.
又∵M、N在以點G為圓心的圓上,
設MN的中點為Q,則
∵,



∵       

又∵
.
整理得
把(6)代入(4)中有:
由
又由(6)有

∵
于是
解得
再由.
綜合得的取值范圍為