Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點．

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）設不過原點的直線，與該橢圓交于兩點，直線的斜率分別為，滿足．

（i）當變化時，是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結論；若不是，請說明理由；

（ii）求面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y2＝1；（Ⅱ）（i）見解析；（ii）（0，1）.

【解析】

（Ⅰ）由題設條件，設ck，a＝2k，則b＝k，利用待定系數法能求出橢圓方程．

（Ⅱ）（i）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，由此利用根的判別式、韋達定理、斜率性質，結合已知條件推導出當k變化時，m2是定值．

②利用橢圓弦長公式，結合已知條件能求出△OPQ面積的取值范圍．

（Ⅰ）由題設條件，設ck，a＝2k，則b＝k，

∴橢圓方程為1，

把點（，）代入，得k2＝1，

∴橢圓方程為y2＝1．

（Ⅱ）（i）當k變化時，m2是定值．

證明如下：

由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，設

∴，．

∵直線OP，OQ的斜率依次為k1，k2，

∴4k＝k1+k2，

∴2kx1x2＝m（x1+x2），由此解得，驗證△＞0成立．

∴當k變化時，是定值．

②S△OPQ|x1﹣x2||m|，令t＞1，

得S△OPQ1，

∴△OPQ面積的取值范圍S△OPQ∈（0，1）．