Question

【題目】已知二次函數滿足：①，有；②；③的圖像與x軸兩交點間距離為4．

（1）求的解析式；

（2）記，．

①若為單調函數，求k的取值范圍；

②記的最小值為，討論的零點個數．

Answer 1

【答案】（1）

（2）①或；②時無零點；時，有4個零點，時，有3個零點，或時，有2個零點

【解析】

（1）設出二次函數解析式，根據已知條件得到二次函數對稱軸、與軸交點、根與系數關系，由此列方程組，解方程組求得二次函數解析式

（2）①求得解析式，根據其對稱軸與區間的位置關系，求得的取值范圍.

②將分成，，三種情況，結合的單調性，求得的表達式，利用換元法：令，即，結合的圖像對進行分類討論，由此求得的零點個數.

（1）設，由題意知對稱軸；①

；②

設的兩個根為，，則，，

；③

由①②③解得，，，

∴．

（2）①，其對稱軸．

由題意知：或，

∴或．

②

1)當時，對稱軸，在上單調遞增，

，

2)當時，對稱軸，，

3)當時，對稱軸，在單調遞減，

，

∴，

令，即，畫出簡圖，

i）當時，，或0，

∴時，解得，

時，解得，有3個零點．

ii）當時，有唯一解，，

有2個零點．

iii）當時，有兩個不同的零點，，

且，，

∴時，解得，

時，解得，有4個不同的零點．

iv）當時，，，

∴有2個零點．

v）當時，無解．

綜上所得：

時無零點；

時，有4個零點；

時，有3個零點；

或時，有2個零點．