Question

【題目】如圖，圓O是一半徑為10米的圓形草坪，為了滿足周邊市民跳廣場舞的需要，現規劃在草坪上建一個廣場，廣場形狀如圖中虛線部分所示的曲邊四邊形，其中A，B兩點在⊙O上，A，B，C，D恰是一個正方形的四個頂點.根據規劃要求，在A，B，C，D四點處安裝四盞照明設備，從圓心O點出發，在地下鋪設4條到A，B，C，D四點線路OA，OB，OC，OD.

（1）若正方形邊長為10米，求廣場的面積；

（2）求鋪設的4條線路OA，OB，OC，OD總長度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）100（平方米）（2）（米）

【解析】

（1）連接AB，廣場面積等于正方形面積加上弓形面積，計算得到答案.

（2）過O作OK⊥CD，垂足為K，過O作OH⊥AD（或其延長線），垂足為H，設∠OAD＝θ（0＜θ），OD，計算得到答案.

（1）連接AB，∵AB＝10，∴正方形ABCD的面積為100，

又OA＝OB＝10，∴△AOB為正三角形，則，

而圓的面積為100π，∴扇形AOB的面積為，

又三角形AOB的面積為.∴弓形面積為，

則廣場面積為100（平方米）；

（2）過O作OK⊥CD，垂足為K，過O作OH⊥AD（或其延長線），垂足為H，

設∠OAD＝θ（0＜θ），則OH＝10sinθ，AH＝10cosθ，

∴DH＝|AD﹣AH|＝|2OH﹣AH|＝|20sinθ﹣10cosθ|，

∴OD.

∴當θ時，.

∴4條線路OA，OB，OC，OD總長度的最小值為（米）.