Question

【題目】已知球的直徑，是該球球面上的兩點，，，則棱錐的體積為_______.

Answer 1

【答案】

【解析】

設球心為點O，作AB中點D，連接OD，CD，說明SC是球的直徑，利用余弦定理，三角形的面積公式求出S△SCD，和棱錐的高AB，即可求出棱錐的體積．

：設球心為點O，作AB中點D，連接OD，CD．因為線段SC是球的直徑，

所以它也是大圓的直徑，則易得：∠SAC=∠SBC=90°

所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30° 得：AC=2，SA=2

又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30° 得：BC=2，SB=2 則：SA=SB，AC=BC

因為點D是AB的中點所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD===

在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD===

又SD交CD于點D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱錐S﹣ABC的體積：V=ABS△SCD，

因為：SD=，CD=，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD2﹣SC2）=（+﹣16）==

則：sin∠SDC==

由三角形面積公式得△SCD的面積S=SDCDsin∠SDC==3

所以：棱錐S﹣ABC的體積：V=ABS△SCD==

故答案為：．