Question

【題目】已知點，圓.

（1）若點點都為圓上的動點，且，求弦中點所形成的曲線的方程；

（2）若直線過點，且被（1）中曲線截得的弦長為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）設，中點為，在中，可得，再由弦長公式可得，代入點的坐標整理得答案；

（2）當直線的斜率不存在時，，此時求得弦長為，滿足題意；當斜率存在時，設直線方程為，即，利用弦長公式及點到直線的距離公式列式求得值，則直線方程可求．

解：（1）設，中點為，

在中，，

在圓中，由弦長公式可得，

，

即，

整理得：．

該圓的圓心到圓圓心的距離，而．

曲線在圓內，符合要求，

即曲線的方程為；

（2）當直線的斜率不存在時，，此時求得弦長為，滿足題意；

當斜率存在時，設直線方程為，即，

由弦長公式可得：，則，

解得：，

直線方程為，

綜上，直線的方程為或．