Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，且,其中，，分別是，，的中點，動點在線段上運動時，下列四個結論：①；②；③面；④面，

其中恒成立的為（ ）

A. ①③ B. ③④ C. ①④ D. ②③

Answer 1

【答案】A

【解析】分析：如圖所示，連接AC、BD相交于點O，連接EM，EN．

（1）由正四棱錐S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，進而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，利用三角形的中位線可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，進而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP;（2）由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，因此不可能EP∥BD；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反證法證明：當P與M不重合時，EP與平面SAC不垂直．

詳解：

如圖所示，連接AC、BD相交于點O，連接EM，EN．

對于（1），由正四棱錐S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．

∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，

∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正確．

對于（2），由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，不可能EP∥BD，因此不正確；

對于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正確．

對于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，則EP∥EM，與EP∩EM=E相矛盾，因此當P與M不重合時，EP與平面SAC不垂直．即不正確．

故選：A．