Question

【題目】已知函數， .

（1）若對于任意的， 恒成立，求實數的取值范圍；

（2）若，設函數在區間上的最大值、最小值分別為、，記，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 的最小值為.

【解析】試題分析：（1）由變形得，構造函數，求導，根據單調性求出最大值，所以， ；（2），求出，對實數分情況討論，得出在（1,2）上的單調性，求出最大值、最小值，再求出的最小值。

試題解析：

（1）因為對任意的恒成立，

所以.

令， ，則.

令，則.

當時， ， 在區間上單調遞增；

當時， ， 在區間上單調遞減.

所以，

所以，即，

所以實數的取值范圍為.

（2）因為，

所以， .

所以.

令，則或.

①若，

當時， ， 在區間上單調遞減；

當時， ， 在區間上單調遞增.

又因為，

所以， ，

所以.

因為，

所以在區間上單調遞減，

所以當時， 的最小值為.

②若，

當時， ， 在區間上單調遞減；

當時， ， 在區間上單調遞增.

又因為，

所以， .

因為，

所以在區間上單調遞增.

所以當時， .

③若，

當時， ， 在區間上單調遞減，

所以， .

所以，

所以在區間上的最小值為.

綜上所述， 的最小值為.