Question

已知函數f（x）是（-∞，+∞）上的偶函數，若對于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），且當x∈[0，2），f(x)=lo

g

(x+1) 2

，則f（-2011）+f（2012）=（　　）

• A．1+lo

  g

  3 2

• B．-1+lo

  g

  3 2

• C．-1
• D．1

Answer 1

分析：由對于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），可得當x≥0時函數的周期為T=4，然后由函數為偶函數可得f（-2 010）+f（2 011）=f（2）+f（-1）=-f（0）+f（1），代入可求．

解答：解：由對于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），
∴有f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函數的周期為T=4
∵函數f（x）是（-∞，+∞）上的偶函數，x∈[0，2），f（x）=log₂（x+1）
∴f（-2010）+f（2011）
=f（2）+f（-1）
=-f（0）+f（1）=
=-f（0）+f（1）=-log₂1+log₂（1+1）=1．
故選D

點評：本題考查了函數性質：函數的奇偶性、函數的周期的綜合運用，及轉化的思想在解題中的運用，解答本題的關鍵是熟練掌握函數的性質及一些常用的反映函數性質的結論．