Question

【題目】已知一個動圓與已知圓Q1：(x＋2)2＋y2＝外切，與圓Q2：(x－2)2＋y2＝內切，(1) 試求這個動圓圓心的軌跡方程；(2)設直線與（1）中動圓圓心軌跡交于A、B兩點，坐標原點O到直線的距離為，求△AOB面積的最大值。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由兩圓位置關系得動圓圓心與Q1，Q2距離之和為定值，再根據橢圓定義確定軌跡為橢圓，最后根據定義中數值對應幾何意義求a,b（2）先設直線方程y＝kx＋m，再根據O到直線的距離為得m2＝ (k2＋1)，由三角形面積公式知△AOB面積取最大值對應弦長AB取最大值，因此聯立直線方程與橢圓方程，消y得關于x的一元二次方程，結合韋達定理，利用弦長公式求AB的長，最后根據基本不等式求弦長最值

試題解析：解：(1)設橢圓的半焦距為c，依題意有

所以c＝，b＝1.所以所求橢圓方程為＋y2＝1.

(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)．

①當AB⊥x軸時，|AB|＝.

②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y＝kx＋m.

由已知＝，得m2＝ (k2＋1)．

把y＝kx＋m代入橢圓方程，

整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

所以|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝

(1＋k2)＝

＝＝

3＋＝3＋ (k≠0)≤3＋＝4.

當且僅當9k2＝，即k＝±時等號成立．

此時Δ＝12(3k2＋1－m2)＞0，

當k＝0或不存在時，|AB|＝，綜上所述，|AB|max＝2.

所以當|AB|最大時，△AOB面積取得最大值

S＝×|AB|max×＝.